회로 해석의 모든 방법은 결국 세 가지 법칙에서 나옵니다. 저항에서 전압과 전류의 관계(옴의 법칙), 폐회로를 돌 때 전압의 합(KVL), 마디에 모이는 전류의 합(KCL)입니다.
저항 \(R\)에 전류 \(i\)가 흐르면 전류가 들어가는 쪽에서 나오는 쪽으로 전압 \(v\)만큼 전위가 떨어집니다. 저항이 클수록 같은 전압에서 전류가 적게 흐릅니다.
위 시각화에서 저항을 지나며 도선 색이 옅어지는 것이 바로 이 전압 강하입니다. 저항 슬라이더를 키우면 주황 점이 느려지는 것으로 전류 감소를 볼 수 있습니다.
어떤 폐회로를 한 바퀴 돌아도 전압의 대수합은 0입니다. 전원이 전위를 올린 만큼 저항들이 정확히 그만큼 내립니다. 에너지 보존 법칙을 회로 언어로 쓴 것입니다.
직렬 모드의 오른쪽 막대 그림에서 왼쪽 막대(전원이 올린 전압)와 오른쪽 막대(저항에서 내려간 전압)의 높이가 항상 같은 이유입니다.
한 마디로 들어오는 전류의 합은 나가는 전류의 합과 같습니다. 전하는 마디에 쌓이지 않기 때문입니다(전하 보존).
병렬 모드로 바꾸면 위쪽 마디에서 주황 점이 두 갈래로 나뉩니다. 저항이 작은 가지에 점이 더 촘촘하게 흐릅니다.
| 직렬 | 병렬 | |
|---|---|---|
| 등가 저항 | \(R_{eq} = R_1 + R_2\) | \(R_{eq} = \dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\) |
| 공통인 양 | 전류 \(i\) | 전압 \(v\) |
| 나뉘는 양 | 분압: \(v_1 = \dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,v\) | 분류: \(i_1 = \dfrac{R_2}{R_1+R_2}\,i\) |
커패시터나 인덕터가 하나 있는 회로는 스위치를 넣는 순간 바로 최종값에 가지 않고, 지수 함수로 서서히 다가갑니다. 그 빠르기를 정하는 값이 시정수 \(\tau\)입니다.
스위치를 닫는 순간 커패시터 전압은 0이므로 전원 전압이 모두 저항에 걸려 전류가 최대 \(V_s/R\)로 흐릅니다. 극판에 전하가 쌓일수록 \(v_C\)가 커지고 저항 양단 전압이 줄어 전류도 줄어듭니다.
\(t=\tau\)에서 최종값의 63.2%, \(5\tau\)에서 99.3%에 도달합니다. 그래서 실무에서는 \(5\tau\)가 지나면 정상 상태로 봅니다.
| t | τ | 2τ | 3τ | 4τ | 5τ |
|---|---|---|---|---|---|
| \(1-e^{-t/\tau}\) | 63.2% | 86.5% | 95.0% | 98.2% | 99.3% |
인덕터는 전류의 갑작스러운 변화를 막습니다(\(v = L\,di/dt\)). 스위치를 닫은 직후 인덕터가 전원 전압을 모두 받아내며 전류는 0에서 서서히 커집니다. 시각화에서 코일 주위 고리가 점점 진해지는 것이 쌓이는 자기 에너지입니다.
초기값 \(x(0)\), 최종값 \(x(\infty)\), 시정수 \(\tau\) 세 가지만 구하면 어떤 1차 회로의 응답도 바로 쓸 수 있습니다.
교류 전압은 시간에 따라 코사인 모양으로 오르내립니다. 이 움직임을 회전하는 화살표(페이저)로 바꾸면 미분 방정식이 복소수 곱셈으로 바뀌고, 저항·인덕터·커패시터를 모두 임피던스 하나로 다룰 수 있습니다.
| 기호 | 이름 | 의미 |
|---|---|---|
| \(V_m\) | 진폭 | 최댓값. 실효값은 \(V_{rms} = V_m/\sqrt{2}\) |
| \(\omega\) | 각주파수 | \(\omega = 2\pi f\) [rad/s], 주기 \(T = 1/f\) |
| \(\phi\) | 위상 | \(t=0\)일 때 페이저가 실수축에서 돌아가 있는 각도 |
위 그림의 도선은 전압이 \(v(x,t) = V_m\cos(\omega t - \beta x + \phi)\)처럼 공간을 따라 전파되는 모습입니다. 도선 길이가 파장에 견줄 만큼 길면(송전선, 고주파 회로) 실제로 이렇게 보입니다. 보통의 회로이론은 도선이 파장보다 아주 짧다고 가정하는 집중 정수 회로입니다. "도선 길이 / 파장"을 0 근처로 내리면 도선 전체가 한 몸처럼 오르내리는데, 이것이 교재에서 다루는 상황입니다. 회로이론에서 파형은 한 점의 시간 변화를 그린 것입니다.
오일러 공식 \(e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta\)에 의해 코사인은 회전하는 복소수의 실수부입니다. 회로 안의 모든 전압·전류가 같은 \(\omega\)로 돌기 때문에 공통인 \(e^{j\omega t}\)를 떼고 크기와 위상만 남긴 것이 페이저입니다.
페이저 영역에서 소자의 전압과 전류 비 \(\mathbf{Z} = \mathbf{V}/\mathbf{I}\)를 임피던스라 합니다. 옴의 법칙, KVL, KCL이 모두 그대로 성립합니다.
| 소자 | 임피던스 | 전압과 전류의 위상 |
|---|---|---|
| 저항 R | \(\mathbf{Z}_R = R\) | 같은 위상 |
| 인덕터 L | \(\mathbf{Z}_L = j\omega L\) | 전류가 전압보다 90° 뒤짐 |
| 커패시터 C | \(\mathbf{Z}_C = \dfrac{1}{j\omega C} = -\dfrac{j}{\omega C}\) | 전류가 전압보다 90° 앞섬 |
\(X_L > X_C\)이면 유도성(전류가 뒤짐), \(X_L < X_C\)이면 용량성(전류가 앞섬)입니다. 두 리액턴스가 같아지는 주파수에서 허수부가 사라지고 \(|\mathbf{Z}| = R\)로 최소가 되어 전류가 가장 크게 흐릅니다.
"공진 주파수로" 버튼을 누르면 임피던스 평면의 L과 C 화살표가 서로 상쇄되고, 전압 페이저 그림에서는 \(\mathbf{V}_L\)과 \(\mathbf{V}_C\)가 크기는 같고 방향이 반대가 됩니다. 이때 \(|\mathbf{V}_L|\)이 전원 전압보다 훨씬 클 수 있다는 점도 확인해 보세요.
전류는 단면을 지나가는 전하의 양이 시간에 따라 늘어나는 빠르기이고, 전압은 전하 하나를 옮길 때 드는 에너지입니다. 둘을 곱하면 소자가 받거나 내놓는 전력이 됩니다.
전하의 단위는 쿨롱(C)이고 전자 하나의 전하는 \(-1.602\times10^{-19}\,\mathrm{C}\)입니다. 전류는 단면을 지나는 전하의 시간 변화율입니다. 위 그래프에서 \(q(t)\) 직선의 기울기가 곧 전류입니다.
두 점 a, b 사이의 전압은 단위 전하를 a에서 b로 옮기는 데 필요한 에너지입니다.
전류가 소자의 ＋ 단자로 들어가도록 방향을 잡으면(수동 부호 규약) \(p = vi\)가 양수일 때 소자가 전력을 흡수하고, 음수일 때 공급합니다. 전류나 전압 슬라이더를 음수로 바꿔 소자의 색이 바뀌는 것을 확인해 보세요.
전원은 독립 전원(정해진 전압이나 전류를 유지)과 종속 전원(다른 곳의 전압이나 전류에 비례)으로 나뉩니다. 종속 전원은 트랜지스터나 연산 증폭기의 모델에 쓰입니다.
마디 해석은 마디 전압을, 메시 해석은 고리를 도는 가상 전류를 미지수로 잡습니다. 같은 회로를 두 방법으로 풀어 보면 결과가 똑같이 나옵니다.
두 마디 사이에 전압원만 있으면 그 둘을 묶어 초마디로 보고 KCL 하나와 전압원 조건 하나를 씁니다.
평면 회로의 각 창(메시)마다 시계 방향으로 도는 메시 전류를 정하고 KVL을 씁니다. 두 메시가 함께 쓰는 가지에는 두 메시 전류의 차가 흐릅니다.
부하에서 보기에 복잡한 선형 회로는 전압원 하나와 저항 하나로 바꿀 수 있습니다. 부하 전류와 부하 전압이 전혀 변하지 않습니다.
선형 회로에서 여러 독립 전원이 만드는 응답은 전원을 하나씩만 남기고(나머지 전압원은 단락, 전류원은 개방) 구한 응답의 합입니다.
위 회로에서 단자 a-b 왼쪽은 분압기입니다. 개방 전압은 분압 공식으로, \(R_{Th}\)는 전압원을 단락한 뒤 단자에서 본 저항으로 구합니다.
"원래 회로"와 "테브난 등가"를 번갈아 눌러도 부하에 흐르는 주황 점의 빠르기가 똑같습니다.
이상 연산 증폭기는 두 가지 규칙만 기억하면 됩니다. 입력 단자로 전류가 들어가지 않고, 음되먹임이 걸리면 두 입력 단자의 전압이 같아집니다.
\(v_+ = 0\)이므로 \(v_-\)도 0(가상 접지)입니다. \(R_1\)을 지나는 전류가 그대로 \(R_f\)를 지납니다.
커패시터는 전기장에, 인덕터는 자기장에 에너지를 저장합니다. 커패시터 전류는 전압의 기울기에, 인덕터 전압은 전류의 기울기에 비례합니다.
삼각파 전압을 넣으면 기울기가 일정한 구간마다 전류가 일정한 값(구형파)이 됩니다. 사다리꼴의 평평한 구간에서는 전압이 변하지 않으므로 전류가 0입니다. 직류에서 커패시터는 개방 회로처럼 동작합니다.
직류에서 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다. 전류가 순간적으로 바뀌면 \(di/dt\)가 무한대가 되므로 인덕터 전류는 연속이어야 합니다.
| 직렬 | 병렬 | |
|---|---|---|
| 커패시터 | \(\dfrac{1}{C_{eq}} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2}\) | \(C_{eq} = C_1 + C_2\) |
| 인덕터 | \(L_{eq} = L_1 + L_2\) | \(\dfrac{1}{L_{eq}} = \dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\) |
L과 C가 함께 있으면 에너지가 둘 사이를 오가며 응답이 진동할 수 있습니다. 저항이 얼마나 빨리 에너지를 소모하느냐에 따라 세 가지 모양이 나옵니다.
직렬 RLC에 KVL을 쓰면 2차 미분 방정식이 나오고, 지수 해 \(e^{st}\)를 넣으면 특성 방정식을 얻습니다.
| 조건 | 이름 | 극점 | 응답 |
|---|---|---|---|
| \(\alpha > \omega_0\) | 과감쇠 | 서로 다른 두 음의 실수 | \(A_1e^{s_1t} + A_2e^{s_2t}\) |
| \(\alpha = \omega_0\) | 임계 감쇠 | 중근 \(-\alpha\) | \((A_1 + A_2t)e^{-\alpha t}\) |
| \(\alpha < \omega_0\) | 부족 감쇠 | 켤레 복소수 \(-\alpha \pm j\omega_d\) | \(e^{-\alpha t}(B_1\cos\omega_dt + B_2\sin\omega_dt)\) |
여기서 \(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}\)입니다. R을 줄이면 두 극점이 실수축 위에서 서로 다가가 만난 뒤(임계 감쇠) 점선 원을 따라 위아래로 갈라집니다. 극점이 허수축에 가까울수록 진동이 오래갑니다.
페이저와 임피던스를 쓰면 교류 회로도 직류 회로와 똑같이 마디 해석, 메시 해석, 테브난 정리로 풀 수 있습니다. 다른 점은 숫자가 복소수라는 것뿐입니다.
위 회로의 마디 \(\mathbf{V}\)에서 KCL을 쓰면 직류 때와 같은 모양의 식이 나옵니다. 저항 대신 임피던스가 들어갈 뿐입니다.
오른쪽 전류 그림에서 \(\mathbf{I}_L\)과 \(\mathbf{I}_C\)는 항상 정반대 방향(180°)입니다. 둘의 크기가 같아지는 병렬 공진 주파수에서는 \(\mathbf{I}_R\)이 0에 가까워지고 \(\mathbf{V}\)가 \(\mathbf{V}_s\)와 거의 같아집니다.
교류에서 순간 전력은 주파수의 두 배로 출렁입니다. 그 평균이 실제로 일을 하는 전력이고, 전압과 전류의 위상차가 클수록 평균이 작아집니다.
저항만 있으면(\(\theta = 0\)) p(t)가 항상 0 이상입니다. 순수 인덕터나 커패시터(\(\theta = \pm90^\circ\))는 반 주기마다 받은 에너지를 그대로 돌려주므로 평균 전력이 0입니다.
| 양 | 단위 | 뜻 |
|---|---|---|
| \(P\) 유효 전력 | W | 실제로 소비되는 전력 |
| \(Q\) 무효 전력 | VAR | L, C와 전원 사이를 오가는 전력 (\(Q>0\): 유도성) |
| \(|\mathbf S|\) 피상 전력 | VA | 전압 × 전류, 설비 용량의 기준 |
발전소는 크기가 같고 120°씩 어긋난 세 전압을 만듭니다. 평형 상태에서 세 전압의 합은 매 순간 0이라서 중성선에 전류가 흐르지 않습니다.
c상의 크기나 위상을 바꿔 불평형을 만들면 주황색 합 벡터가 0에서 벗어납니다. 이것이 불평형 부하에서 중성선에 전류가 흐르는 이유입니다.
Y 결선에서 선간 전압은 두 상전압의 차입니다. 왼쪽 그림의 회색 점선이 \(\mathbf V_{ab} = \mathbf V_{an} - \mathbf V_{bn}\)이고, 크기가 상전압의 \(\sqrt3\)배이며 30° 앞섭니다.
한 코일의 전류가 만든 자속이 다른 코일을 지나가면 그 코일에도 전압이 유도됩니다. 전선으로 연결되지 않아도 에너지가 건너갑니다.
점 규약: 두 전류가 모두 점이 찍힌 단자로 들어가면 상호 유도 전압의 부호가 ＋, 하나만 들어가면 －입니다.
결합 계수가 1이고 손실이 없으면 두 코일을 지나는 자속이 같으므로 감은 수만큼 전압이 비례합니다. 전력은 그대로 건너가므로 전류는 반대로 나뉩니다.
같은 회로라도 입력 주파수에 따라 출력의 크기와 위상이 달라집니다. 이 변화를 주파수 축에 그린 것이 보드 선도이고, 이를 이용해 원하는 주파수만 통과시키는 회로가 필터입니다.
\(-3\,\mathrm{dB}\)는 크기가 \(1/\sqrt2 \approx 0.707\)배, 전력이 절반이 되는 지점입니다. 이 주파수를 차단 주파수라고 합니다.
차단 주파수보다 높은 곳에서 저역 통과 필터의 크기는 10배 주파수마다 20 dB씩 떨어집니다(−20 dB/decade). 차단 주파수에서 위상은 정확히 −45°(저역) 또는 +45°(고역)입니다.
라플라스 변환은 시간 함수를 복소 주파수 \(s = \sigma + j\omega\)의 함수로 바꿉니다. 미분은 \(s\)를 곱하는 일로 바뀌고, 회로의 성질은 s-평면의 극점 위치로 요약됩니다.
| \(f(t)\) | \(F(s)\) | 극점 |
|---|---|---|
| \(u(t)\) | \(1/s\) | \(s = 0\) |
| \(e^{-at}\) | \(1/(s+a)\) | \(s = -a\) |
| \(e^{-at}\cos\omega t\) | \(\dfrac{s+a}{(s+a)^2 + \omega^2}\) | \(s = -a \pm j\omega\) |
| \(\dfrac{df}{dt}\) | \(sF(s) - f(0^-)\) | |
| \(\int_0^t f\,d\tau\) | \(F(s)/s\) |
주기 신호는 기본 주파수와 그 정수배 주파수를 가진 사인파들의 합으로 나타낼 수 있습니다. 회로는 각 사인파를 따로 처리하므로, 앞에서 배운 페이저 해석을 그대로 쓸 수 있습니다.
구형파 계수는 \(1/n\), 삼각파 계수는 \(1/n^2\)으로 줄어듭니다. 그래서 삼각파는 고조파 몇 개만으로도 거의 똑같아지지만, 구형파는 모서리 근처에 약 9%의 튀어 오름(깁스 현상)이 끝까지 남습니다.
입력을 고조파로 나누고, 각 주파수 \(n\omega_0\)에서 페이저로 응답을 구한 뒤 시간 영역에서 더합니다. 평균 전력은 각 고조파 전력의 합입니다.
회로 내부를 몰라도 두 쌍의 단자에서 측정한 전압과 전류의 관계만 알면 그 회로를 쓸 수 있습니다. 그 관계를 나타내는 네 개의 숫자가 2포트 파라미터입니다.
한쪽 포트를 개방하고(\(I = 0\)) 다른 쪽에 전류를 넣은 뒤 양쪽 전압을 재면 z 파라미터 두 개가 나옵니다. 위 시각화에서 개방된 쪽의 직렬 저항에는 전류가 흐르지 않으므로 그 포트의 전압은 가운데 저항 \(R_c\)의 전압과 같습니다.
| 이름 | 식 | 측정 조건 |
|---|---|---|
| 어드미턴스 y | \(\mathbf I = \mathbf y\,\mathbf V\), \(\mathbf y = \mathbf z^{-1}\) | 반대 포트 단락 |
| 하이브리드 h | \(V_1 = h_{11}I_1 + h_{12}V_2\), \(I_2 = h_{21}I_1 + h_{22}V_2\) | 트랜지스터 모델 |
| 전송 ABCD | \(V_1 = AV_2 - BI_2\), \(I_1 = CV_2 - DI_2\) | 종속 연결 시 행렬 곱 |
직렬 연결은 z 행렬을 더하고, 병렬 연결은 y 행렬을 더하고, 종속 연결은 ABCD 행렬을 곱합니다.